Необходимые операции и определения
Разложение выражения на множители — это преобразование этого числа в произведение нескольких сомножителей без изменения значения исходного выражения.
Это довольно частая операция, необходимая для вынесения множителя из-под знака корня.
Для разложения на множители используются следующие приёмы:
- Вынесение за скобки общего множителя;
- Группировка множителей;
- Применение формул сокращённого умножения;
- Комбинация вышеизложенных методов.
Готовые работы на аналогичную тему
- Курсовая работа Как вынести число из-под корня 450 руб.
- Реферат Как вынести число из-под корня 240 руб.
- Контрольная работа Как вынести число из-под корня 220 руб.
$6x^2 – 8xy +4x = 2x cdot 3x — 2x cdot 4y + 2x cdot 2 = 2x cdot (3x — 4y + 2)$.
Также для вынесения множителя используются формулы сокращённого умножения, например:
$(x + y)^2 = x^2 +2xy + y^2$.
Оба продемонстрированных выше метода можно комбинировать.
Калькулятор корней с решением онлайн
Содержание:
Десятичная дробь. Обыкновенная дробь a/b. Произведение чисел a*b. Число пи (π). Число Эйлера e. Е – буква, означающая 10n. Квадратный корень Sqrt(x). Корень любой степени Root(n, x). Возведение в степень Pow(n, x). Логарифм числа Log(n, x). Натуральный логарифм Ln(n). Десятичный логарифм Lg(n). Двоичный логарифм Lb(n). Наибольший общий делитель НОД Gcd(n, m). Наименьшее общее кратное НОК Lcm(n, m). Тригонометрические функции. Синус угла Sin(x). Косинус угла Cos(x). Тангенс угла Tan(x). Котангенс угла Cot(x). Секанс угла Sec(x). Косеканс угла Csc(x). Обратные тригонометрические функции. Арксинус угла Asin(x). Арккосинус угла Acos(x). Арктангенс угла Atan(x). Арккотангенс угла Acot(x). Арксеканс угла Asec(x). Арккосеканс угла Acsc(x). Выражения, содержащие множественное вложение функций и математических операций. Десятичная дробь Запись: Для записи десятичной дроби используйте точку либо запятую Пример: 1.12 или 1,12
Обыкновенная дробь a/b
Запись: Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/» Пример: 1/2 или 3/4
Произведение чисел
Запись: Для записи произведения двух чисел используйте знак «*» Пример: 5*4
Число пи (π)
Запись: Для записи числа π введите «π», либо «pi» или «пи». Пример: Sin(π)
Число Эйлера e
е = 2.7182818284… Запись: Для записи числа e введите e или E. Пример: Cos(e)
Е – буква, означающая 10n
Запись: Буква Е должна находится только в числе Пример: 16e+6 16e-4 3.96e+3
Квадратный корень Sqrt(x)
Запись: Sqrt(x), где x – любое неотрицательное число или выражение. Пример: Sqrt(3) Sqrt(3/5) Sqrt(3*3)
Корень любой степени Root(n, x)
Запись: Root(n, x), где n – подкореное выражение x – степень корня x, n – любые числа или выражения. Для корня четной степени, подкореное выражение не может быть отрицательным. Пример: Корень кубический из дроби 2/5 Root(2/5, 3) Другие примеры Root(1.5, 3) Root((3*5), 3/2) Root(1.5, 3/7)
Возведение в степень Pow(n, x)
Запись: Pow(n, x), где n – основание x – показатель степени x, n – любые числа или выражения. Пример: Пять в степени три Pow(5, 3) Другие примеры Pow(12.5, 3) Pow((3-5), 3/2) Pow(1.5, Sqrt(2))
Логарифм числа Log(n, x)
Запись: Log(n, x), где n – число, логарифм которого требуется найти x – основание логарифма. x > 0, x ≠ 1, n > 0 Пример: Log5 34 (логарифм числа 34 по основанию 5), запишем как Log(34, 5)
Натуральный логарифм Ln(n)
Основание равно числу Эйлера e (е = 2.7182818284…) Запись: Ln(n), где n > 0 Пример: Ln(7)
Десятичный логарифм Lg(n)
Основание равно 10 Запись: Lg(n), где n > 0 Пример: Lg(1.6)
Двоичный логарифм Lb(n)
Основание равно 2 Запись: Lb(n), где n > 0 Пример: Lb(3/6)
Наибольший общий делитель НОД Gcd(n, m)
Запись: Gcd(n, m), где n, m – целые неотрицательные числа Пример: НОД(12; 16) нужно записать как Gcd(12, 16)
Наименьшее общее кратное НОК Lcm(n, m)
Запись: Lcm(n, m), где n, m – целые неотрицательные числа Пример: НОК(4; 23) нужно записать как Lcm (4, 23)
Тригонометрические функции
Все тригонометрические функции принимают как один, так и два аргумента. Если функция принимает один аргумент, то число принимается как радианы.
Синус угла Sin(x)
Запись: Sin(x) Sin(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Синус π/3 радиан Sin(π/3) либо Sin(π/3, Rad) Синус 60° градусов Sin(60, Deg)
Косинус угла Cos(x)
Запись: Cos(x) Cos(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Косинус π/3 радиан Cos(π/3) либо Cos(π/3, Rad) Косинус 60° градусов Cos(60, Deg)
Тангенс угла Tan(x)
Запись: Tan(x) Tan(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Тангенс π/3 радиан Tan(π/3) либо Tan(π/3, Rad) Тангенс 60° градусов Tan(60, Deg)
Котангенс угла Cot(x)
Запись: Cot(x) Cot(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Котангенс π/3 радиан Cot(π/3) либо Cot(π/3, Rad) Котангенс 60° градусов Cot(60, Deg)
Секанс угла Sec(x)
Запись: Sec(x) Sec(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Секанс π/3 радиан Sec(π/3) либо Sec(π/3, Rad) Секанс 60° градусов Sec(60, Deg)
Косеканс угла Csc(x)
Запись: Csc(x) Csc(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Косеканс π/3 радиан Csc(π/3) либо Csc(π/3, Rad) Косеканс 60° градусов Csc(60, Deg)
Обратные тригонометрические функции
Все обратные тригонометрические функции принимают как один, так и два аргумента. Если функция принимает один аргумент, то функция выдаст ответ в радианах.
Арксинус Asin(x)
Запись: Asin(x) Asin(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Арксинус 1/3 (ответ получить в радианах) Asin(1/3) либо Asin(1/3, Rad) Арксинус 1/3 (ответ получить в градусах) Asin(1/3, Deg)
Арккосинус Acos(x)
Запись: Acos(x) Acos(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Арккосинус 1/3 (ответ получить в радианах) Acos(1/3) либо Acos(1/3, Rad) Арккосинус 1/3 (ответ получить в градусах) Acos(1/3, Deg)
Арктангенс Atan(x)
Запись: Atan(x) Atan(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Арктангенс 1/3 (ответ получить в радианах) Atan(1/3) либо Atan(1/3, Rad) Арктангенс 1/3 (ответ получить в градусах) Atan(1/3, Deg)
Арккотангенс Acot(x)
Запись: Acot(x) Acot(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Арккотангенс 1/3 (ответ получить в радианах) Acot(1/3) либо Acot(1/3, Rad) Арккотангенс 1/3 (ответ получить в градусах) Acot(1/3, Deg)
Арксеканс Asec(x)
Запись: Asec(x) Asec(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Арксеканс 1/3 (ответ получить в радианах) Asec(1/3) либо Asec(1/3, Rad) Арксеканс 1/3 (ответ получить в градусах) Asec(1/3, Deg)
Арккосеканс Acsc(x)
Запись: Acsc(x) Acsc(x, measure) Где x – число measure – может принимать значения Rad либо Deg Пример: Арккосеканс 1/3 (ответ получить в радианах) Acsc(1/3) либо Acsc(1/3, Rad) Арккосеканс 1/3 (ответ получить в градусах) Acsc(1/3, Deg)
Выражения, содержащие множественное вложение функций и математических операций
Любое выражение может содержать в себе множественное вложение функций, ограничение по длине выражения составляет 100 символов. Введите выражение (максимальная длина 100 символов). Примеры: Root(Pow(3, 6), 2); (5/2-4)*34/5-(Root(3, 2)) (12-123+5)/(12.45*(34/6)) Sin(60, Deg)+Cos(45, Deg) и т.д.
Свойства корня
Теперь перейдём к более детальному рассмотрению корня.
Определение 1
Корнем $n$-нной степени из числа $b$ называют число, которое нужно возвести в $n$-нную степень чтобы получить число $b$:
$sqrt[n]{b}= m$.
Замечание 1
Процесс получения корня называется его извлечением.
Левая часть равенства вида $sqrt[n]{b} = m$ называется радикалом, то, что стоит непосредственно под знаком корня — подкоренным выражением, а число, стоящее слева сверху перед знаком корня называется показателем корня.
Необходимо подобрать материал для учебной работы? Задай вопрос преподавателю и получи ответ через 15 минут! Задать вопрос
Правая же часть равенства после знака «равно» называется корнем $n$-нной степени из числа $b$.
При извлечении числа из-под корня нужно учитывать то, что в случае с корнем нечётной степени возможен лишь один ответ, математически это запишется так: $sqrt[n]{x} = b$, тогда как в случае с извлечением корня чётной степени ответа будет два, причём один с положительным знаком, а другой с отрицательным, это записывается так: $sqrt[n]{x} = ±b$.
Также существует ещё одна теорема, которую нужно знать при вынесении множителя из-под знака корня:
Теорема 1
Для извлечения корня $n$-ой степени из произведения, моно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, а результаты перемножить. Математически это запишется так: $sqrt[n]{xyz}=sqrt[n]{x}sqrt[n]{y}sqrt[n]{z}left(1right)$.
Докажем эту теорему для случая если под корнем стоит положительное число, а степень $n$ является нечётной.
Для этого используем определение корня. У нас есть следующее равенство: $sqrt[n]{a} = b$. Из определения корня получается, что $b^n = a$, соответственно, возведя $b$ в степень $n$ мы получим подкоренное значение, здесь это $a$.
Применим эту логику к равенству $(1)$.
Для этого возведём в степень правую часть равенства. Но для того чтобы сделать это, необходимо возвести в степень произведение, а для этого нужно возвести в степень каждый сомножитель и затем перемножить их все между собой:
$(sqrt[n]{x}sqrt[n]{y}sqrt[n]{z})^n= (sqrt[n]{x})^n(sqrt[n]{y})^n(sqrt[n]{z})^n=x cdot y cdot z$
Получилось выражение, стоящее под знаком корня, а это значит, что теорема доказана.
Вычислить квадратный корень из числа
Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:
- найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
- выполнить математическое действие с дробными степенями.
Число знаков после запятой: |
√ |
Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.
Что такое квадратный корень
Корень n
степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.
Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.
Квадратным корнем из числа a
будет число, квадрат которого равен a . Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.
Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.
Проводим расчеты вручную
Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:
1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.
Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.
Например:
25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:
Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.
Возьмем 784 и извлечем из него корень.
Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16. |
Ответ. |
2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.
Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.
Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель. | |
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки. | Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4. Значит
между 2 и 4. |
Оцениваем значение | |
Вычисляем корень |
Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.
При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.
Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала. | |
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево;
— число после запятой слева направо. |
Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28
Допускается, что вначале остается непарное число. |
Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.
У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 = |
|
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.
Примечание: числа должны быть одинаковыми. |
|
Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8. | |
Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение прочерками, подбираем множители для него и так далее. |
Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.
Алгоритм действий
1. Введите желаемое количество знаков после запятой.
2. Укажите степень корня (если он больше 2).
3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.
4. Нажмите кнопку «Решить».
Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.